ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ИССЛЕДОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ЗАНЯТИЕ 12

Если ряд имеет вид или (т.е. содержит все степени переменной), то можно воспользоваться формулой

или формулой

В противном случае для отыскания применяют признак Даламбера или Коши непосредственно к рядам или .

Для решения этой задачи следует:

1) записать ряд из абсолютных величин

2) найти интервал сходимости, применяя к ряду из абсолютных величин либо признак Даламбера, либо признак Коши, либо формулы (1), (2). При этом по признаку Даламбера вычисляют , а по признаку Коши Полученный предел для сходимости ряда должен быть меньше единицы.

3) исследовать граничные точки интервала.

Пример 1.Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

□ Заметим, что формулы , неприменимы, так как ряд содержит только нечетные степени . Обозначим . Из вида коэффициентов следует, что нужно применить признак Даламбера. Для этого найдем и . Вычислим . Изучаемый ряд сходится, если полученный предел удовлетворяет условию: , или , или . Итак, и интервал сходимости имеет вид , или .

Пример 2.Найти область сходимости ряда

□ 1) Общий элемент ряда из абсолютных величин имеет вид:

2) Применим признак Даламбера. Так как

то вычислим

или интервал сходимости, радиус сходимости.

3) Исследуем граничные точки.

Подставляя в исходный степенной ряд, получим числовой ряд

Для исследования этого ряда на сходимость применим признак сравнения. Возьмем ряд с общим элементом Этот ряд сходится. Вычислим

изучаемый ряд сходится.

Подставляя в исходный степенной ряд, получим числовой ряд

Этот ряд уже изучен: он сходится.

Ответ: − область сходимости ряда. ■

Пример 3.Найти область сходимости ряда

□ 1) Общий элемент ряда из абсолютных величин имеет вид:

2) Применим признак Даламбера. Вычислим

и тогда или интервал сходимости.

3) Исследуем граничные точки.

Подставляя в исходный степенной ряд, получим числовой ряд с общим элементом

.

Применим интегральный признак:

непрерывная, невозрастающая на

Вычислим

интеграл расходится, следовательно, изучаемый ряд расходится.

Подставим Общий элемент ряда имеет вид:

ряд с таким общим элементом − знакочередующийся; сначала изучим его на абсолютную сходимость.

ряд с таким общим элементом изучен, он расходится. Тогда исходный ряд изучим на условную сходимость: так как ряд знакочередующийся и справедливо при то сравним и .

Здесь по признаку Лейбница ряд условно сходится.

Ответ: область сходимости ряда. ■

Пример 4.Найти область сходимости ряда

□ 1) Общий элемент ряда из абсолютных величин имеет вид

2) Применим признак Коши, так как все выражение в степени, зависящей от n.

интервал сходимости.

3) Изучим граничные точки.

Подставляя в исходный степенной ряд, получим числовой ряд с общим элементом

ряд с таким общим элементом – знакочередующийся.

Изучим его на абсолютную сходимость:

т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости.

Тогда вычислим

ряд расходится, так как для сходящегося ряда

Подставляя в исходный степенной ряд, получим числовой ряд с общим элементом

общий элемент знакоотрицательного ряда, который получен из ряда с общим элементом , рассмотренным в правой граничной точке, умножением на Известно, что умножение ряда на число, не равное 0, не меняет его поведения в смысле сходимости. Поэтому изучаемый ряд расходится.

Ответ: область сходимости ряда. ■