ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Розрахунок напруженості і потенціалу

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Кафедра загальної і теоретичної фізики

Розрахунково-графічна робота

з дисципліни “Загальна фізика”

Варіант №11

Виконав:

Лифар Владислав Ілліч

КМ-21, ФПМ

Київ 2013

Зміст

1. Електричне поле зарядів у вакуумі 3

1.1 Напруженість електричного поля. 4

1.2 Потенціал. 6

1.3 Розрахунок напруженості і потенціалу. 8

1.4 Графіки залежності E1(r), E2(r), E3(r), φ1(r), φ2(r), φ3(r) 9

2. Електричне поле в діелектриках. Конденсатори. Енергія поля. 12

2.1 Отримати вирази для векторів електричного зміщення, напруженості та потенціалу поля у всьому просторі. 13

2.2 Розрахувати таблиці значень та побудувати графіки залежностей , , та . 15

2.3 Отримати вираз для ємності конденсатора та обчислити.. 19

2.4 Отримати вираз для енергії конденсатора через ємність і заряд та обчислити. 19

2.5 Отримати вираз для енергії поля конденсатора через об'ємну густину енергії; порівняти результат із попереднім розрахунком. 19

Висновки 21

Електричне поле зарядів у вакуумі

Електричне поле створюється у вакуумі (діелектрична проникність ε=1) зарядом, який розподілений із густиною ρ(r) по об'єму нескінченного циліндричного шару, r – відстань від осі.

ρ(r)= ρ₀(R₁/r)

ρ_{0 =} 0,5 *10^-6 Кл/м³

R₁ = 5 см

R₂ = 10 см

1.1 Напруженість електричного поля

За теоремою Гаусса замкнену поверхню доводиться брати у вигляді скінченного прямого циліндра радіуса rі певної висоти h. При цьому основи циліндра не є еквіпотенціальними. Але оскільки вектор Е має радіальний напрям і складає кут 90° з нормаллю до основи, на основах нормальна проекція напруженості Еn = 0. Тому потік створюється тільки крізь бічну поверхню циліндра.

S_бічна = 2πrh

Маємо формулу розрахунку напруженості:

Формула для даної задачі з урахуванням значення діелектричної проникності

Формула для даної задачі з урахуванням значення діелектричної проникності

1) r < R₁

Область порожняя, отже очевидно, що вільна від заряду. Тобто:

q₁ = 0

E₁S = 0

E₁= 0

2) R₁≤ r ≤ R₂

Оберемо тонкий циліндр радіуса r та товщини dr. Причому, dr<<r.

dV=2πrh dr

r r r

q₂ = ∫ ρ(r)2πrh dr = 2πh ∫ρ₀(R₁/r)r dr = 2πhρ₀R₁ ∫dr = 2πhρ₀R₁(r – R₁)

^R₁ ^R₁ ^R₁

q₂ = πhρ₀R₁(r – R₁)

E₂ = 2πhρ₀R₁(r – R₁)/2πε₀rh = ρ₀R₁(r – R₁)/ε₀r

E₂ =ρ₀R₁(r – R₁)/ε₀r

3) R₂ < r

q₃ = Q – повний заряд шару всередині замкненого циліндру.

R₂ R₂ R₂

q₃ = ∫ ρ(r)2πrh dr = 2πh ∫ρ₀(R₁/r)r dr = 2πhρ₀R₁ ∫dr = 2πhρ₀R₁(R₂ – R₁)

^R₁ ^R₁ ^R₁

E₃ = 2πhρ₀R₁(R₂ – R₁)/2πε₀rh = ρ₀R₁(R₂ – R₁)/ε₀r

E₃ = ρ₀R₁(R₂ – R₁)/ε₀r

Потенціал

1) R₁≤ r ≤ R₂

_{R2 R2}

φ₂(r) = ∫ρ₀R₁(r – R₁)/ε₀r dr = ∫(ρ₀R₁r/ε₀r – ρ₀(R₁)²/ε₀r)dr =

^{r r}

_{R2 R2}

= ∫ρ₀R₁/ε₀ dr – ρ₀(R₁)²/ε₀∫rdr = ρ₀R₁(R₂ – r)/ε₀ – ρ₀(R₁(R₂ – r))²/2ε₀ =

^{r r}

= ρ₀R₁(R₂ – r)(2 – R₁(R₂ – r)) /2ε_0.

2) R₂ < r

_{R2 R2}

φ₃(r) = ∫ρ₀R₁(R₂ – R₁)/ε₀r dr = ρ₀R₁(R₂ – R₁)/ε₀∫(1/r)dr =

^{r r}

= ρ₀R₁(R₂ – R₁)(ln(R₂) – ln(r)) / ε₀.

3) r < R₁

В силу визначення запишемо

Так як область порожняя, отже очевидно, що вільна від заряду, тоді

E₁ = 0

Отже маємо еквіпотенціальну поверхню

φ(R₁) = φ₁(R₂) = φ₂(R₁)

φ₁(r) = φ₂(R₁)

Розрахунок напруженості і потенціалу

· Напруженість

E₁= 0

E₂= ρ₀R₁(r – R₁)/ε₀r = ρ₀R₁/ε₀ - ρ₀(R₁)²/ε₀r =

= (0,5 *10^-6 * 5 * 10^-2 / 8.85 * 10^-12) – (0,5 *10^-6 * 25 * 10^-4 / r * 8.85 * 10^-12)=

= (В/м)

E₃= ρ₀R₁(R₂ – R₁)/ε₀r =

= 0,5 *10^-6 * 5 * 10^-2 * (10 – 5) * 10^-2 / r * 8.85 * 10^-12 =

= 25, 424 * 10² / r = (В/м)

· Потенціал

φ₁(r)=φ₂(R₁) = 10³ * (2 – 5 * 10^-3 – 50 * 5 * 10^-2 * 10^-3)(2,5 – 25*5 * 10^-2)/ 17,7 = 10³ * (2 – 0,005 – 2,5)(2,5 – 1,25)/ 17,7 = =-35,66 (В)

φ₂(r) = ρ₀R₁(R₂ – r)(2 – R₁(R₂ – r)) /2ε₀=

(((0,5 *10^-6* 5 * 10^-2 * 10 * 10^-2) – (0,5 *10^-6* 5 * 10^-2 * r)) *

* =

= =

= (кВ)

φ₃(r) = ρ₀R₁(R₂ – R₁)(ln(R₂) – ln(r))/ε₀ =

(0,5 *10^-6 * 5 * 10^-2 * 5 * 10^-2 )( ln10 – ln(r)) /8.85 * 10^-12 =

= 1412, 4( ln10 – ln(r)) (В)

1.4 Графіки залежності E₁(r), E₂(r), E₃(r), φ₁(r), φ₂(r), φ₃(r)

Графік залежності E₁(r)

Графік залежності E₂(r)

Графік залежності E₃(r)

Графік залежності φ₁(r)

Графік залежності φ₂(r)

Графік залежності φ₃(r)

2. Електричне поле в діелектриках. Конденсатори. Енергія поля.

Циліндричний конденсатор. Довжина конденсатора 10

; ; ; ; =0.1м;

Варіант	Тип
			2,0	0,100

2.1 Отримати вирази для векторів електричного зміщення , напруженості та потенціалу поля у всьому просторі.

Оскільки в зовнішньому електричному колі діелектрик поляризується, то розрахунок починаємо зі знаходження поля вектора електричного зміщення . За теоремою Гаусса для вектора :

, де q – алгебраїчна сума сторонніх зарядів під поверхнею.

Маємо:
r<R₁, D₁=0

R₁<r<R, 2πrhˑD=q D₂=

R<r<R₂, 2πrhˑD=q D₃=

r>R₂, D₄=0

Оскільки діелектрик є ізотропним, то справедливо наступне співвідношення:
=εε₀ .

Звідси маємо .

r>R₂, E₁=0

R<r<R₂, E₂ =

R₁<r<R, E₃ =

r<R₁, E₄=0

Так як потенціал чисельно дорівнює роботі поля по переміщенню додатного точкового заряду з даної точки на нескінченність, а робота консервативних сил в полі не залежить від форми траєкторії, тому можна записати, що

В за умовою.

Тоді можна записати:

( + )

= ( + )+

=

( + )+

2.2 Розрахувати таблиці значень та побудувати графіки залежностей , , та .

D₁₌ D₄=0 (Кл/м²)

D₂= D₃= (Кл/м²)

E₁= E₄=0 (В/м)

E₂= (В/м)

E₃= (В/м)

(В)

(В)

(В)

r, м	D(r),Кл/м2	E(r), В/м	(r), В	ε(r)
0,02	0	0		1
0,04	0	0		1
0,06	0	0		1
0,08	0	0		1
0,1	1.59*10-7	5,396*103	484,561	3,33
0,11	1.445*10-7	5,233*103	431,444	3,125
0,12	1.325*10-7	5,096*103	379,819	2,941
0,13	1.223*10-7	4,981*103	329,448	2,778
0,14	1.136*10-7	4,882*103	280,144	2,632
0,15	1.06*10-7	4,797*103	231,76	2,5
0,15	1.06*10-7	5,996*103	1725	2
0,16	0.994*10-7	5,621*103	1254	2
0,17	0.935*10-7	5,29*103	859,773	2
0,18	0.883*10-7	4,996*103	526,422	2
0,19	0.837*10-7	4,733*103	242,793	2
0,2	0.795*10-7	4.497*103	0	2
0,2	0	0	0	1
0,21	0	0	0	1

Графік залежності D(r)

Графік залежності E(r)

Графік залежності (r)

Графік залежності ε(r)