ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Крайова задача для лінійного диференціального рівняння другого порядку.

Числові методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь

Задача Коші.

Розглянемо найпростішу постановку задачі для рівняння першого порядку. А саме, треба знайти таку неперервну функцію на відрізку , що задовольняє диференціальному рівнянню

(1)

та початковій умові

(2)

де та задані.

1.1.1. Метод Ейлера.

Відрізок розіб’ємо на N відрізків рівної довжини , з кроком , так що .

Позначимо .

Замінимо в (1) похідну першою різницевою похідною в точці .

Одержимо для наближених значень співвідношення

або

(3)

Тому що відоме, (3) дає змогу послідовно відшукати всі (наближено). В цьому полягає метод Ейлера. Похибка в кожній формулі з (3) має порядок .

Для зменшення похибки із збереженням того ж кроку, застосовується модифікація методу – метод Ейлера з ітераціями.

Нехай відоме, треба знайти

. (4)

Для обчислення інтеграла в правій частині (4) застосовуємо формулу трапецій.

_­ .

Якщо покласти , то одержимо (наближено)

Таким чином,

(5)

Ітерації за формулами (5) виконуються доти, доки не виконається нерівність

, (6)

де - задана точність обчислень.

Після цього приймаємо

. (7)

Якщо при нерівність (6) не задовольниться, то крок h ділимо навпіл і знову обчислюємо за формулами (5).

Можна довести, що метод Ейлера є стійким, якщо задовольняє умову Ліпшиця по з деякою константою .

Метод Ейлера застосовується також для розв’язання задачі Коші для системи диференціальних рівнянь.

(8)

В цьому випадку замість (5) будемо мати

(9)

Замість (6) одержимо

. (10)

1.1.2. Методи Рунге-Кутта

Ідею методу викладемо лише схематично.

Постановка задачі та сама, що в 1.1. Розбиття відрізку співпадає з з викладеним в методі Ейлера.

Наближений розв’язок задачі шукається із співвідношення

де - деяке ціле число, що задає варіант методу Рунге-Кутта,

Величини визначаються з деяких умов.

Позначимо . Якщо – достатньо гладка функція своїх аргументів, то і - гладкі функції параметра h. Припустимо, що настільки гладка, що існують похідні . Величини підбираються таким чином, щоб , a . Величина називається похибкою методу на кроці, a s – порядком похибки методу.

Можна показати, що у випадку ми приходимо до методу Ейлера.

На практиці зазвичай використовують випадок . Тут найбільш вживана сукупність формул:

(без доведення виконнання умов методу)

Якщо в наведених формулах послідовно покладати , та скористатись початковими умовами , то можна одержати алгоритм наближеного розв’язку задачі Коші в усіх вузлах . Можна показати, що похибка розв’язку має порядок .

Крайова задача для лінійного диференціального рівняння другого порядку.

Крайова задача полягає в наступному. Необхідно відшукати розв’язок диференціального рівняння

(11)

що задовольняє двом крайовим умовам:

(12)

де - задані функції,

– задані числа, такі що

.

В загальному випадку крайова задача (11), (12) може мати або один розв’язок, або нескінченну множину розв’язків, або зовсім ні одного розв’язку. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що для того, щоб існував єдиний розв’язок неоднорідної крайової задачі (11), (12), необхідно і достатньо, щоб крайова задача

(13)

(14)

мала тільки тривіальний розв’язок .

Ми спочатку будемо розглядати частинний випадок задачі (11), (12), а саме крайову задачу

(15)

(16)

де - задані функції,

на , - задані числа.

В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що крайова задача (15), (16) має єдиний розв’язок .

1.2.1. Різницевий метод

Ідея цього методу полягає в тому, що розв’язок задачі шукається не на всьому відрізку , а тільки в деяких його точках, на так званій сітці. Другою ідеєю методу є заміна похідних в диференціальному рівнянні (а в загальному випадку крайової задачі (11), (12) і в крайових умовах) різницевими похідними. Це дає змогу перейти від неперервної задачі до задачі розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яка дає наближені значення шуканої функції у вузлах сітки.

Повернемось до задачі (15), (16). Задамо на відрізку скінченну множину точок (вузлів)

де натуральне.

Множина називається сіткою, h – кроком сітки.

Через позначимо підмножину , одержану відкидування крайових вузлів . Множина вузлів теж називається сіткою (з внутрішніх вузлів). Нехай також - сітка, що складається з двох крайніх вузлів. Значення якої небудь функції у вузлах сітки будемо позначати , аналогічно .

Замінивши у внутрішніх вузлах сітки на другу різницеву похідну, одержуємо замість (15), (16) систему лінійних алгебраїчних рівнянь

, (17)

(18)

Ми пере позначили u на у тому, що від похідних ми перейшли до їх наближених значень і, таким чином не повинні задовольняти систему (17), (18), а її задовольняють деякі наближені до величину .

Неважку переконатись в тому, що система (17), (18) зводиться до системи з трьох-діагональної матрицею, причому за умови

, (19)

де ,

виконуються умови використання методу прогонки для її розв’язання (що і робиться на практиці).

Можна показати, що розв’язок задачі (17), (18) збігається до розв’язку задачі (15), (16) при з другим порядком відносно h, тобто

де під нормою розуміється

Питання збіжності розв’язків різницевих схем до розв’язків диференціальних задач докладно вивчається в курсі «Додаткові розділи чисельного аналізу».

Розглянемо більш загальну задачу, а саме крайову задачу

, (15)

(16*)

де – задані числа, причому .

Крайова задача (15), (16*) за тих же умов до функцій , що і в попередній задачі, також має єдиний розв’язок . Вона відрізняється від попередньої тим, що в крайові умови входять похідні на кінцях відрізку .

Ці похідні наближено заміняються першими різницевими похідними,

Без доведення наведемо різницеву схему для крайової задачі (15), (16*):

, (20)

, (21)

де коефіцієнти вільні члени визначені формулами:

Можна довести, що за умови (19), виконуються властивості апроксимації, стійкості, та має місце збіжність розв’язку у різницевої схеми (20), (21) до розв’язку u диференціальної задачі (15), (16*) з порядком точності .

Зауважимо знову, що для розв’язку системи алгебраїчних рівнянь може бути застосований метод прогонки (можна перевірити, що умови застосування цього методу в даній ситуації виконується).