ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Піднесення до степеня та добування кореня.

Комплексні числа

Комплексною змінною називають упорядковану пару дійсних змінних , яку записують у вигляді

,

де уявна одиниця, що задовольняє умові .

Змінні та називають дійсною та уявною частинами змінної , відповідно, і позначають так:

Зокрема, дійсна змінна;

чисто уявна змінна;

нуль.

Комплексні змінні та називають рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто

На площині з декартовою системою координат х0у комплексну змінну можна зобразити точкою М(х,у) або радіус-вектором цієї точки. Тоді між точками площини і комплексними числами встановлюється взаємно однозначна відповідність. Дійсні числа будуть зображуватись точками осі 0х, яку називають дійсною віссю, а чисто уявні числа - точками осі 0у, яку називають уявною віссю; точка початок координат, а площину х0у називають комплексною площиною С (Мал.1)..

Y

z=x+iy y

r

x X

Мал.1

Позначимо через полярний радіус і через - полярний кут точки . Тоді

Числа та називають модулем та аргументом комплексної змінної і позначають

Модуль визначають однозначно за формулою

а аргумент приймає нескінченну кількість значень які відрізняються між собою на число кратне

Одне значення (позначається що задовольняє умові називають головним. Тоді

Головне значення визначають рівностями

Запис комплексної змінної у вигляді

називають алгебраїчною формою змінної

Запис вигляду

називають тригонометричною формою змінної

Використовуючи формулу Ейлера

Отримаємо показникову форму змінної

Означення 1. Комплексне число називається комплексно спряжненим до числа і позначається , тобто

У комплексно спряжнених чисел та модулі рівні, аргументи відрізняються лише знаком. Числа та зображуються точками, які симетричні відносно дійсної осі.

Означення 2. Комплексне число називається протилежним комплексним числом до числа

Якщо то число називається оберненим комплексним числом до числа

2.Дії з комплексними числами.

Додавання та відніманнякомплексних чисел, заданих в алгебраїчній формі здійснюється за формулою

Отже, алгебраїчна сума двох комплексних чисел є комплексне число, дійсна та уявна частина якого дорівнює тій самій алгебраїчній сумі дійсних та уявних частин, відповідно.

Добуткомкомплексних чисел, заданих в алгебраїчній формі, називається комплексне число

(10)

яке одержують за правилом множення многочленів з урахуванням, що

Діленнякомплексних чисел визначається як дія, обернена множенню. При діленні комплексних чисел в

алгебраїчній формі достатньо помножити чисельник і

знаменник на число, комплексно спряжнене до знаменника, а потім відокремити дійсну та уявну частини:

Якщо комплексні числа та задані в тригонометричній формі, то їх добуток знаходиться за формулою:

Дійсно

.

При множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються т.т.

Аналогічно доводиться, що при діленні комплексних чисел \їх модулі діляться, а аргументи додаються:

(13)

Якщо комплексні числа задані у показниковій формі, то

(15)

З (12) та (13) випливає, що при множенні комплексного числа на вектор розтягується в раз і повертається на кут проти руху годинникової стрілки.

y

x

Мал.2

Зокрема, множення на зводиться до повороту вектора на кут без розтягування. З формул (13) та (15) випливає, що при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.

Приклад 1. Знайти алгебраїчну форму суми

Розв’язання.Оскільки

то

Піднесення до степеня та добування кореня.

Правило множення комплексних чисел поширюється на довільну кількість множників. Зокрема, якщо усі множники дорівнюють то

Цю формулу називають формулою Мавра, з неї отримуємо

Знайти корінь цілого додатного степеня з числа означає, що треба знайти таке число

я степінь якого дорівнює Тому за формулою (13) маємо:

З першої цих рівностей знаходимо а з другої

Знаходження кореня степеня із комплексного числа здійснюють за формулою:

З цієї формули випливає, що є різних значень . Кожному із цих значень відповідає точка комплексної площини. Усі ці точки лежать на колі радіуса з центром в початку координат і поділяють коло на рівних частин.

Відзначимо, що у випадку задання комплексного числа у показниковій формі маємо:

(18)