ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Наблюдение эффектов размножения и наложения спектров.

Исходные данные: Х₁=2, Х₂=0.8, Х₃=0.8, ϕ₁=0, ϕ₂= π, ϕ₃=0, F1=1МГц,

F_д=8МГц, ∆t=1/512 мкс.

Требуется:

1.Определить амплитудный спектр аналогового сигнала

где

2.Определить амплитудный спектр дискретного сигнала в интервале частот от 0 до 2F_Д+3F₁, где F_Д – частота дискретизации.

3.Выполнить моделирование аналогового сигнала, его дискретизации и восстановления аналогового сигнала из дискретного при двух значениях частоты дискретизации: первое значение F_Д= 8 МГц, второе значение в два раза меньше первого F_Д= 4 МГц. Моделирование выполняется по программе «Diskret».

4.Сравнить аналоговый сигнал, восстановленный из дискретного, с исходным аналоговым сигналом на входе дискретизатора. Сравнение выполнить при двух значениях частоты дискретизации.

Расчет частот спектральных составляющих дискретного сигнала по формуле:

k = 0

1. F=F₁, f₁ = F₁ = 1 МГц,

2. F=2F₁, f₂ = 2F₁ = 2 МГц,

3. F=3F₁, f₃ = 3F₁ = 3 МГц.

k=1

4. F=3F₁, f₄ = F_Д – 3F₁ = 8 – 3 = 5 МГц,

5. F=2F₁, f₅ = F_Д – 2F₁ = 8 – 2 = 6 МГц,

6. F=F₁, f₆ = F_Д – F₁ = 8 – 1 = 7 МГц,

7. F=F₁, f₇ = F_Д + F₁ = 8 + 1 = 9 МГц,

8. F=2F₁, f₈ = F_Д + 2F₁ = 8 + 2 = 10 МГц,

9. F=3F₁, f₉ = F_Д + 3F₁ = 8 + 3 = 11 МГц.

k=2

10. F=3F₁, f₁₀ = 2F_Д – 3F₁ = 16 – 3 = 13 МГц,

11. F=2F₁, f₁₁ = 2F_Д – 2F₁ = 16 – 2 = 14 МГц,

12. F=F₁, f₁₂ = 2F_Д – F₁ = 16 – 1 = 15 МГц,

13. F=F₁, f₁₃ = 2F_Д + F₁ = 16 + 1 = 17 МГц,

14. F=2F₁, f₁₄ = 2F_Д + 2F₁ = 16 + 2 = 18 МГц,

15. F=3F₁, f₁₅ = 2F_Д + 3F₁ = 16 + 3 = 19 МГц.

Построение спектральных диаграмм аналогового и дискретного сигналов.

Рисунок 1 – Амплитудный спектр аналогового сигнала

Рисунок 2 – Амплитудный спектр дискретного сигнала

Результат моделирования по программе «Diskret A» в виде временных и спектральных диаграмм аналогового и дискретного сигнала приведён на рисунке 3.

Рисунок 3. Временные и спектральные диаграммы при F_Д > 2F₃

Вывод: При увеличении дискретизации возникает эффект размножения спектра и восстановленный аналоговый сигнал совпадает по форме с исходным, так как соблюдается теорема Котельникова.

Повторим эксперимент при уменьшенной в два раза частоты дискретизации.

Рисунок 4. Временные и спектральные диаграммы при F_Д < 2F₃

Вывод: При уменьшении дискретизации в 2 раза, восстановленный и исходный сигнал не совпадает по форме, так как не соблюдается теорема Котельникова и происходит эффект наложения.

Задание №1б.Моделирование процесса дискретизации аналогового сигнала, модулированного по амплитуде, и восстановления аналогового сигнала из дискретного.

Исходные данные: X₀=2, f₀=13, F=0.20, F_Д=4, Δt=1/256

Задание 1б выполняется по программе «Diskret_B» (Приложение Б). Эта программа отличается от программы «Diskret_A» только видом функции, описывающей исходный аналоговый сигнал. Результатом выполнения программы являются временные и спектральные диаграммы аналогового и дискретного сигналов (рисунок 5).

Рисунок 5 – Временные и спектральные диаграммы аналогового и дискретного сигналов при частоте несущей

f₀=13 МГц, частоте модуляции 0.20 МГц и частоте дискретизации F_Д=4МГц

Вывод: восстановленный аналоговый сигнал идентичен сигналу на входе дискретизатора.

Задание №2.Определение спектра восьмиточечной последовательности отсчетов сигнала с использованием алгоритмов БПФ с прореживанием во времени и с прореживанием по частоте и выполнение обратного преобразования.

2.1. Определение спектра последовательности x_n,

где n = 0,1,2..7, методом прямого дискретного преобразования Фурье

где , N=8, k=0,1,2..7.

2.2. Определение последовательности отсчетов сигнала x_n, где n = 0,1,2..7, по известной последовательности отсчетов спектра S_k, где k = 0,1,2..7, методом обратного дискретного преобразова- ния Фурье

где n = 0,1,2..7.

2.3. Определение спектра последовательности x_n, где

n = 0,1,2..7, методом БПФ с прореживанием во времени.

2.4. Определение последовательности отсчетов сигнала x_n, где n=0,1,2..7, по известной последовательности отсчетов спектра S_k, где k=0,1,2..7, методом БПФ с прореживанием во времени.

2.5. Определение спектра последовательности x_n, где

n = 0,1,2..7, методом БПФ с прореживанием по частоте.

2.6. Определение последовательности отсчетов сигнала x_n, где n=0,1,2..7, по известной последовательности отсчетов спектра S_k, где k=0,1,2..7, методом БПФ с прореживанием по частоте.

Определим спектр заданной последовательности по программе

«Прямое ДПФ»:

,

Спектр амплитуд:

Спектр фаз:

Спектры амплитуд и фаз приведены на рисунках 2.1 и 2.2 соответственно.

Рисунок 2.1 – Спектр амплитуд.

Рисунок 2.2 – Спектр фаз.

2. Определим последовательность отсчетов дискретного сигнала по её спектру.

.

Воспользовавшись программой «Обратное ДПФ», получим:

3. Воспользуемся алгоритмом прямого БПФ с прореживанием во времени для исходной последовательности.

Рисунок 2.3

Выполним перестановку членов этой последовательности с учетом двоичной инверсии индексов (рисунок 2.3). В результате получим:

Воспользовавшись алгоритмом прямого БПФ с прореживанием во времени (рисунок 2.4), выполним операции «бабочка»: на первом уровне – 4 двухточечных «бабочки», на втором уровне – 2 четырёхточечных, на третьем уровне – одна восьмиточечная.

Рисунок 2.4 – Алгоритм прямого БПФ с прореживанием во времени.

4. Выполним перестановку членов полученной последовательности отсчетов спектра с учетом двоичной инверсии индексов. В результате получим:

Подадим эту последовательность на входы двухточечных бабочек рисунка 2.5 и выполним вычисления.

Примечание: результаты выполнения бабочки делятся на N=8

Рисунок 2.5 – Алгоритм обратного БПФ с прореживанием во времени.

5. Воспользуемся алгоритмом БПФ с прореживанием по частоте для определения прямого преобразования последовательности.

Согласно алгоритму прямого БПФ с прореживанием по частоте (рисунок 2.6), выполним операции «бабочка»: на первом уровне – одна восьмиточечная «бабочка», на втором уровне – 2 четырёхточечных, на третьем уровне – четыре двухточечных.

Рисунок 2.6 – Алгоритм прямого БПФ с прореживанием по частоте.

Выполним перестановку членов полученной последовательности с учетом двоичной инверсии индексов (рисунок 2.3).

В результате получим:

6. По алгоритму рисунка 2.7 выполним обратное преобразование последовательности отсчетов спектра.

.

Примечание: результаты на выходах двухточечных бабочек делятся на N=8

Рисунок 2.7 – Алгоритм обратного БПФ с прореживанием по частоте.

Результатом этой операции является последовательность отсчетов дискретного сигнала .

Выполнив перестановку членов этой последовательности с учетом двоичной инверсии индексов, получим.