 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ
| Исследование функции ущерба.
Замечания руководителя
Содержание 1. Введение............................................................................................................1 1.1. Актуальность работы. 5 1.2. Задание 6 2. Основное содержание работы. 7 2.1. Исследование функции полезности 16 2.2. Исследование функции ущерба 27 3. Заключение. 35 4. Литература.....................................................................................................36
Введение. Актуальность работы. Известно, что с начала момента создания распределённой информационной системы (РИС) существуют риски, которые могут привести к тому, что данная система может частично или полностью выйти из строя. Исключить риски полностью невозможно, но можно продлить жизнеспособность системы, уменьшив их тем или иным образом. При нанесении ущерба информационной системе возможны два исхода: 1) смерть системы 2) отказ системы с последующим ее восстановлением. Стоит отметить, что выгода будет потеряна как в первом, так и во втором случае. В данной работе риск-анализ системы будет проводиться учитывая второй случай, что наиболее часто соответствует реальности. Именно поэтому в работе будет проведено исследование полезности и ущерба РИС.
1.2 Цели и задачи работы: 1. Исследовать функцию полезности и при различных параметрах построить её графики в программе Mathcad . 2. Найти функцию ущерба (как упущенной выгоды) для заданного выражения полезности компонента РИС. 3. Исследовать функцию ущерба и при различных параметрах построить её графики в программе Mathcad. 4. Построить приближение функции полезности. 5. Оценить погрешность приближения. 6. Выяснить вид функции полезности. 7. Сделать вывод по проведенным исследованиям.
2. Основное содержание работы. 2.1. Исследование функции полезности Цель данной работы состоит в исследовании функции полезности следующего вида:
, где Проведем исследование данной функции полезности: 1. Найдем область определения функции: 2.Укажем вид функции: 3. Исследуем функцию на монотонность. Найдем первую производную функции
Отсюда получаем, что при любых t производная функции не обращается в ноль, более того, производная всегда меньше нуля(функция убывает). Построив в с помощью mathcad график
, где f(t)=
рис.1- исследование функции на монотонность.
4. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого сначала найдем вторую производную функции
Построив в с помощью mathcad график
где f(t)=
рис.2- исследование функции полезности на выпуклость, вогнутость. 5. Наклонных асимптот нет, так как Теперь на основание выше проведенного исследования построим график данной функции
0 T t
Данный график полностью соответствует графику, построенному в программе Mathcad 14.0 при
рис.3- График функции
Разложим функцию в ряд Тейлора:
В нашем случае мы ограничимся разложением функции до 2-ого порядком. И чтобы упростить счет, мы положим
Таким образом, наша функция полезности ведёт себя так же, как многочлен 2-ой степени. Построим первое приближение функции полезности. Она будет иметь следующий вид (Рис. 4).
рис.4- первое приближение функции
Теперь построим график второго приближения функции полезности. Он примет следующий вид (Рис. 5).
рис.5- второе приближение функции
Таким образом, можно сказать, что практическое и теоретическое построение график совпали. Построим второе приближение функции ущерба и саму функции ущерба в одной системе координат и при одних и тех же параметрах. И оценим погрешность второго приближения по графику (Рис. 7).
рис.6- оценка погрешности. ,где f(t)- график функции полезности, g(t)- график функции второго приближения. Видим, что графики накладываются друг на друга. Это означает, что исходную функцию полезности можно заменить функцией для второго приближения. Итак, построив график данной функции, можно убедиться, что данная функция полезности описывает момент начала атаки на систему с последующим её выходом из строя в момент Т. Теперь построим серию графиков функции полезности и выясним, при каких значениях параметра Следующие 3 графика были построены в программе Mathcad 14.0 при различных параметрах
рис.8- построения графика при
рис.9- построения графика при
рис.10- построения графика при Следующие 3 графика были построены в программе Mathcad 14.0 при различных параметрах Т (во всех графиках
рис.11- построения графика при
рис.12- построения графика при
рис.13- построения графика при
Таким образом, мы видим, что функция приобретает форму прямоугольника при Площадь фигуры под графиком представляет собой упущенную пользу, которую могла бы получить система, если бы в момент времени t=0 атакуемый компонент не утратил безвозвратно свою работоспособность. Из выше сказанного можно сделать вывод, что при устремление параметра Найдем теперь функцию ущерба. Для того чтобы найти функцию ущерба нужно проинтегрировать функцию полезности
= Если в момент времени
Если же в момент времени
Для удобства дальнейших выкладок положим Тогда аналитическое выражение функции ущерба примет вид:
Исследование функции ущерба. Проведем исследование полученной функции ущерба:
1.Найдем область определения функции: 2.Укажем вид функции: 3.Вертикальных и наклонных асимптот не существует; 4.Исследуем функцию на монотонность: Найдем первую производную функции
Отсюда получаем, что функция больше нуля в промежутке 5. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого сначала найдем вторую производную функции
При любых t производная не обращается в ноль, более того, производная всегда меньше нуля, а значит, является выпуклой на всём интервале.
T рис.14- График функции
Данный график соответствует графику, построенному в программе Mathcad 15.0 при
рис.15- График функции ущерба
Разложим функцию в ряд Тейлора:
В нашем случае мы ограничимся разложением функции до 2-ого порядком. И чтобы упростить счет мы положим
Таким образом, наша функция ущерба ведёт себя так же, как многочлен 2-ой степени. Построим первое приближение функции ущерба. Оно будет иметь следующий вид:
рис.16- Первое приближение функции ущерба. Теперь построим график второго приближения функции ущерба. Он примет следующий вид:
рис.17- Второе приближение функции ущерба. Видим, что графики функции ущерба и второго приближения практически идентичны. Это означает, что исходную функцию полезности можно заменить функцией для второго приближения.
Теперь проследим, как влияют параметры Т Следующие 2 графика были построены в программе Mathcad 15.0 при различных параметрах
рис.18- График функции ущерба при
рис.16- График функции ущерба при Следующие 2 графика были построены в программе Mathcad 15.0 при различных параметрах
ри.17- График функции ущерба при
рис.18- График функции ущерба при
Вывод: из приведенных выше заключений можно сказать, что, варьируя параметры
Заключение.
В ходе выполнения данной работы была установлена оценка ущерба распределенной информационной системы с использованием функции полезности. Также были выполнены следующие задачи: 1. Исследована функция полезности и при различных параметрах построены её графики в программе Mathcad . 2. Найдена функцию ущерба (как упущенной выгоды) для заданного выражения полезности компонента РИС. 3. Исследована функция ущерба и при различных параметрах построены её графики в программе Mathcad. 4. Построено приближение функции полезности. 5. Была проведена оценка приближения. 6. Сделан вывод по проведенным исследованиям. 7. Выяснено, что данная функция полезности показывает момент атаки на систему. На основании проведенных выше исследований можно сказать, что, варьируя параметр
Литература. 1. Г.А. Остапенко, Информационные операции и атаки, Учебное пособие. Москва. Горячая линия – Телеком. 2007 - 134 с. 2. Г.А. Остапенко,Основы оценки рисков и защищенности компьютерно атакуемых информационных систем и технологий, Учебное пособие. Воронеж. Редакционно-издательский совет ВГТУ. 2013 – 128 с. 3. НАУЧНЫЙ ФОРУМ «СИСТЕМЫ, ПРОЦЕССЫ И БЕЗОПАСНОСТЬ» 2009/2010. Региональная научно-практическая конференция «Риски и шансы распределённых систем в контексте обеспечения эффективности и безопасности их функционирования». Сборник научных трудов. – 2010 г. 4. «Arbor Networks» . http://www.arbornetworks.com 5. Анализ статьи «The Risks of Client-Side Data Storage». http://www.sans.org/reading_room/whitepapers/storage/risks-client-side-data-storage_33669
|
>1 - коэффициент нелинейности, задающий крутизну «заката» функции полезности, 
- средняя продолжительность работоспособности объекта.
(в общем случае), так как время не может быть отрицательным. Конкретно в нашем случае время жизни системы определяется параметром T, т.е. система будет существовать ровно 
времени и поэтому область определения данной функции 
значительно уменьшится и станет 
;
– функция общего вида;
и точки экстремума:
= 
, получаем:
= 
= 
= 
Отсюда получаем, что 
при любых t не обращается в ноль, более того, производная всегда меньше нуля( функция 
1
(Рис. 6).
Подставив эти выражения в формулу, написанную выше, мы получим следующие:
-0,303 (t-1) -0,071 
площадь, расположенная под графиком, функции будет наибольшей.
(во всех графиках T 
).
1
).
2
1, T 
до 
.
= 
- 
на систему была совершенна фатальная атака, т. е. система потеряла свою работоспособность, тогда 
и ущерб принимает следующий вид:
и ущерб будет функцией зависящей от времени, и он принимает следующий вид:
- 
, в свою очередь это будет означать, что РИС с момента её начала работы подверглась атаки или вредоносному воздействию и как следствие система несёт ущерб с момента начала её работы.
– функция общего вида;
и точки экстремума:
обращается в ноль, только при t =T
Теперь на основание выше проведенного исследования построим график данной функции 
.Подставив эти выражения в формулу, написанную выше, мы получим следующее:
на график и вследствие этого дадим оценку тому, при каких значениях вышеупомянутых параметров ущерб будет минимальный.
и Т=2
и 
и 
и 
, можно сильно изменять вид функции ущерба.
, мы можем изменить вид функции полезности, а именно, при 
1, функция получает наименьший ущерб.