ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы: изучение вязкости жидкостей и определе­ние коэффициента динамической вязкости жидкости (глицерин, касторовое масло) методом Стокса.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Существует два вида течения жидкости (или газа): ламинарное и турбулентное. При ламинарном течении (от lamina-пластинка) жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят относительно друг друга, не перемешиваясь. При турбулентном течении (от лат. turbulentus-бурный, беспорядочный) жидкость интенсивно и беспорядочно перемешивается. В любом случае, для приведения жидкости в движение, нужно действовать на неё внеш­ней силой, причем при турбулентном течении эта сила должна быть больше. При ламинарном течении, сила сопротивления жидкости опреде­ляется её вязкостью.

Вязкость (внутреннее трение) - свойство жидкостей (или газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части от­носительно другой.

Основной закон внутреннего трения для ламинарного течения был установлен И. Ньютоном (1687).

Рассмотрим жидкость, движущуюся в направлении оси ОУ (рис. I).

Течение двух слоев жидкости

Рис.1

Выделим в жидкостидва слоя площадью S, находящихся на расстоя­нии ΔZ. Пусть скорости этих слоев отличаются на величину ΔV.Отношение ΔV/ΔZхарактеризует быстроту изменения скорости тече­ния от слоя к слою и называется градиентом скорости. Основной закон вязкого течения гласит, что сила внутреннего трения (вязкости) F,действующая между двумя слоями, пропорциональна площади их соприкосновения S и градиенту скорости ΔV/ΔZ:

F=ηΔV/ΔZS(1)

Величина η называется коэффициентом динамической вязкости (коэффи­циентом внутреннего трения). Согласно формуле (I) коэффициент динамической вязкости численно равен силе внутреннего трения, приходящейся на единицу поверхности двух слоев, движущихся относительно друг друга с градиентом скорости равным единице. В системе единиц СИ размерность коэффициента динамической вязкости кг_∙м^-1_∙с^-1 (Па∙с). Вязкостью жидкости определяется сила, действую­щая на твердое тело, движущееся в жидкости. При ламинарном обтекании тела слой жидкости, непосредственно прилегающий к твердой по­верхности, в результате прилипания остается неподвижным относитель­но неё. Скорость остальных слоев относительно тела возрастает по мере их удаления от поверхности. Результирующую силу, действующую на тело, можно найти, суммируя силы (I), действующие на отдельные участки поверхности, она зависит от размеров и формы тела. Для шара, совершающего равномерное поступательное движение с малой ско­ростью в безграничной жидкости, сила сопротивления F_cбыла вычис­лена в 1851г. английским физикам Дж. Стоксом:

F_c=6πηrυ(2)

где r-радиус шара, υ - скорость шара. Природу вязкости молекулярно-кинетическая теория о6ъясняет движением и взаимодействием мо­лекул. Причем для жидкостей и газов механизм возникновения внутрен­неготрения существенно различается.

В газах расстояние между молекулами существенно больше радиуса действия молекулярных сил. Вязкость газов - следствие хаотического (теплового) движение молекул, в результате которого происходит обмен молекулами между движущимися друг относительно друга слоями. Врезультате молекулы из медленно движущихся слоев попадают в быстрые, тем самым замедляя их, и наоборот. Так как средняя ско­ростьтеплового движения молекул растет с увеличением температуры Т(пропорционально √T), то вязкость газов также увеличивается с нагреванием пропорционально √T.

В жидкостях, где расстояние между молекулами мно­го меньше, чем в газах, вязкость обусловлена межмолекулярным вза­имодействием. В жидкости молекулы большую часть времени колеблются около положения равновесия, и только время от времени совершают скач­ки на расстояние порядка размеров самой молекулы. Течение жидкости представляет собой совокупность огромного числа таких скачков. Ве­роятность скачков повышается с ростом интенсивности колебаний, то есть с увеличением температуры. Поэтому вязкость жидкости уменьша­ется при её нагревании. Вязкость жидкости сильно зависит от химической структуры и состава молекул. Вчастности, вязкость водного раствора глицерина заметно уменьшается с увеличением содержания в нём воды (табл. 1).

Таблица 1.

Вязкость водного раствора глицерина

МЕТОД СТОКСА

Для нахождения коэффициента динамической вязкости Дж. Стокс предложил метод, основанный на измерении скорости равномерно падаю­щего в жидкости тела. Рассмотрим шарик, движущийся по вертикали в столбе жидкости (рис. 2). На шарик действуют три силы:

1) Сила тяжести Р=mg. Выражая массу m через плотность ρи объём V шарика, получим:

m=ρV

(3)

тогда: P=ρVg

где V=4/3πr³, g- ускорение силы тяжести;

2) Выталкивающая сила (сила Архимеда). Согласно закону Архи­меда выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости:

F_A= -ρ_oVg(4)

где ρ_o - плотность жидкости, знак "-" означает, что сила направ­лена вверх. (В качестве положительного направления вертикальной оси Z, на которую мы проецируем силы, выбрано направление "вниз");

3) сила сопротивления среды (сила Стокса)

F_c= -6πηrυ(5)

Здесь знак "-" означает, что сила Стокса направлена противополож­но υ. Результирующая сила F_rравна:

F_r=(ρ - ρ_o)Vg - 6πηrυ(6)

Уравнение, описывающее движение шарика, получается из второго зако­на Ньютона:

F_r=mā

и, следовательно,

ρVdυ/dt=(ρ - ρ_o)Vg - 6πηrυ(7)

Найти зависимость скорости шарика от времени можно, решив это диффе­ренциальное уравнение. Преобразуем его к следующему виду:

ρVdυ/(ρ - ρo)Vg - 6πηrυ=dt(8)

Затем, умножим левую и правую части на -6πηr/ρV, получим

dυ/(ρ - ρ_o)Vg/6πηr= -6πηr/ρV∙dt(9)

Проинтегрируем обе части:

Ln(υ - (ρ - ρ_o)Vg/6πηr)= -6πηr/ρV∙t+const(10)

Затем пропотенцируем:

υ - (ρ - ρ_o)Vg/6πηr=const∙e^{-6πηr/ρV∙t}(11)

Величина const зависит от начальной скорости шарика υприt=0(рис.2).

Падение тела в жидкости

Рис.2

Функция e^{-6πηr/ρV∙t}очень быстро убывает с ростом времени t. Поэтому независимо от начальной скорости через время t >Vg/6πηrшарик будет двигаться с практически постоянной скоростью. Из формулы (11) следует:

υ_о=(ρ - ρ_o)Vg/6πηr(12)

Измерив установившуюся скорость и зная ρ, ρ_o, r,V,можно найти коэффициент динамической вязкости по формуле:

η=(ρ - ρ_o)Vg/6πrυ_о=²/₉∙(ρ - ρ_o)gr²/ υ_о(13)

БЕЗОПАСНОСТЬ ТРУДА

Надо помнить, что глицерин в смеси с марганцовокислым калием образует взрывоопасную смесь. Касторовое масло и глицерин относятся к горючим жидкостям, опасно приближение огня.

В работе используют стеклянные сосуды. При выполнении работы надо быть осторожным со стеклом.

ПОРЯДОК РАБОТЫ

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндрический сосуд с исследуемой жидкость; набор шариков, отличающихся материалом и размерами; микроскоп МИР-12; предметное стекло; секундомер; ареометр; термометр; масштабная линейка; пинцет.

5.1. Измерить при помощи микроскопа диаметр dшарика и измеренный шарик поместить с помощью пинцета на предметное стекло, находящееся на столике микроскопа. Совместить визирные линии окуляр-мик­рометра с правым, а затем с левым краями шарика (рис. 3). Снять от­счёт по горизонтальной шкале (целые миллиметры) и по шкале барабана (десятые и сотые доли миллиметра). Найти диаметр шарика как разность этих отсчётов. Диаметр каждого шарика измерить в трех различных нап­равлениях. Результаты занести в (табл. 2.). За диаметр шарика принять среднее арифметическое полученных результатов.

Схема измерения диаметра шарика

_________________________________________________

Рис.3

5.2. Определить установившуюся скорость падения шарика в жидкос­ти. Для этого взять шарик пинцетом, поместить его в центр открытой поверхности жидкости и отпустить. Когда шарик будет проходить первую метку, включить секундомер. Измерить время движения шарика между мет­ками. При отсчетах глаз наблюдателя должен располагаться на уровне соответствующей метки. Измерения проделать для всех шариков. Резуль­таты занести в (табл. 3.). Рассчитать скорость шарика υ=ι/tи занести результаты в (табл. 3).

Таблица 2.

Результаты измерений диаметров шариков

5.3. Повторить п.п. 5.1. и 5.2. для 5-6 шариков, отличающихся материалом и размерами.

5.4. Измерить плотность жидкости с помощью ареометра. Результат занести в (табл. 3). (Глицерин перед измерением надо тщательно переме­шать мешалкой, так как глицерин поглощает из воздуха водяные пары, вследствие чего изменяется его плотность).

5.5. Измерить температуру жидкости термометром.

5.6. Найти в справочнике значение плотности шарика и занести в (табл. 3).

5.7. Для каждого шарика вычислить вязкость по формуле (13), пре­образованной к виду

η=Сd²/υ(14)

где: С=(ρ - ρ_o)g/18 d=2r

Результаты вычислений занести в (таб. 3).

Таблица 3.

Результаты эксперимента и вычислений

5.8. Рассчитать среднее значение вязкости с и занести в (таб. 3).

5.9. В случае работы с глицерином определить процентное содер­жаний воды. Для этого по данным (табл. 1) построить график зависимос­ти вязкости от процентного содержания глицерина при температуре наи­более близкий к измеренной.

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

6.1 Абсолютная и относительная погрешности измерения коэффициента динамической вязкости находятся грубым методом расчета погрешности [4], исходя из формулы (14)

η=(ρ - ρ_o)g/18∙td²/ι(16)

6.2. Получить формулы для вычисления относительной погрешности ε=Δη/η, исходя из формулы (16), логарифмируя и дифференцируя по величине ρ, ι, t,d.

6.3. Обосновать значение абсолютных погрешностей непосредственно измеряемых величин (ρ, ι, t,d).

6.4. Вычислить относительную погрешность вязкости ε=Δη/η.

6.5. Вычислить абсолютную погрешность Δη=εη_ср.

6.6. Написать вывод. Результат работы привести в форме η=(η_ср ± Δη), Па∙с.

(В случае работы с глицерином записать полученное процентное содержание глицерина).

ВЫВОД

В результате работы научились измерять вязкость жидкости и коэффициент динамической вязкости жидкости (глицерина, касторового масла) методом Стокса.

График зависимости вязкости от процентного содержания глицерина