ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.

Найдем на отрезке [0,3] приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , и построим график найденного решения.

Сведем решение задачи для уравнения второго порядка к задаче для эквивалентной нормальной системы второго порядка. Обозначим и . Поскольку , то получим

Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом на сетке из 20 равноотстоящих узлов.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления и график, приведен на рисунке 2.

Рисунок 2

Примечание. Определите вектор y и вектор-функцию D(x,y) как матрицы размерности 2´1. Присвойте компонентам вектора y начальные значения, а компонентам вектора D(x,y) – выражения для правых частей уравнений системы. В остальном действуйте так же, как в предыдущем примере.

Решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Найдем на отрезке [0,3] приближенное решение задачи Коши

и построим графики для найденного решения. Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом на сетке из 30 равноотстоящих узлов (рисунок 3).

Рисунок 3

Примечание. Для того, чтобы построить графики найденного решения (графики функций ), введите в качестве переменной на оси абсцисс Y<1> (cтолбец координат узлов сетки), а на оси ординат введите, разделяя запятой, Y<2>, Y<3>, Y<4> (столбцы, содержащие соответственно значения в узлах сетки).

Задание 4.

1. Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка, соответствующее вашему варианту.

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка

,

описывает движение груза массы m, подвешенного к концу пружины. Здесь x(t) – смещение груза от положения равновесия, H – константа, характеризующая силу сопротивления среды, k –коэффициент упругости пружины, f(t) – внешняя сила. Начальные условия: – смещение груза в начальный момент времени t=0, – скорость груза в начальный момент времени. Промоделировать движение груза на временном отрезке [0,T ] при заданных в индивидуальном варианте трех наборах (I, II, III) значений параметров задачи.

Вопросы для самоконтроля:

1. Как символьно вычисляются уравнения одной переменной?

2. Как решаются системы нелинейных уравнений?

3. Как решаются системы линейных уравнений с использованием блока Given .... Find(...)?

4. Как решаются системы уравнений в символьном виде?

5. Какая функция используется для численного решения дифференциальных уравнений и как это записывается в MathCad?