ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Простейшие правила интегрирования.

ЛЕКЦИЯ 11

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла)

Во многих вопросах науки и технике приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот – восстановить функцию по известной ее производной.

Пусть у нас задано ускорение как функция от времени: . Требуется определить восстановить ту функцию , для которой является производной и найти , для которой производной будет .

Дадим определение

Функция в данном промежутке называется первообразной функцией для функции или интегралом от , где является производной для функции , или, что то же, служит для дифференциалом.

или

Разыскание для функции всех ее первообразные и составляем одну из задач интегрального исчисления - эта задача является обратной задачей дифференциального исчисления.

Теорема.

Если в некотором пространстве функция есть первообразная для функции , то и функция , где -любая постоянная, также будет первообразной. Обратно, каждая функция первообразная для ,может быть представлена в этой форме.

Доказательство:

То, что на ряду с , является первообразной для , очевидно, так как . Пусть теперь - любая первообразная для функция, такая, что в промежутке

Так как функции и в промежутке имеют одну и ту же производную, то они разделятся на константу, т.е.

Что и требовалось доказать.

В силу этого, выражение , где - произвольная , представляет собой общий вид функции, которая имеет производную или дифференциал . Это выражение называется неопределенный интегралом и обозначается

Произведение называется подынтегральным выражением, а подынтегральная функция. Под интегралом пишут производную, а название дифференциал сложилось исторически.

Пример: Пусть

Тогда интеграл будет

Это легко проверить дифференцированием. Из определения неопределенного интеграла.

1. то есть знаки и взаимно сокращаются.

2. или Итак, если , а

Пусть движение равномерное, под действием силы тяжести: то

При различных С мы будем получать и различные значения для скорости в один и тот же момент времени.Следовательно, имеющих у нас данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить определенное решение задачи в момент времени зададим скорость

тогда

откуда . Теперь имеем

Найдем

(Продифференцируем, проверим, что эта запись правильная)

Неизвестную можно найти, задав при и , тогда

, , - называются начальные значения , , .

Мы знаем, что производная функции дает угловой коэффициент касательной к соответствующему графику. Поэтому, задачу отыскание первообразной для заданной функции можно составить так: требуется найти кривую для которой имел бы место заданные значения не изменяются углового коэффициента

Если есть одна из таких кривых, то остальные могут быть получены из нее простым сдвигом параллельно оси у. Что бы найти конкретную кривую нужно задать начальные условия , .