ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Графіки неявних функцій, аналітичний вираз яких містить знак модуля.

План

1. Побудова графіків функцій виду у = f(|x|);

2. Побудова графіків функцій виду у = |f(x)|;

3. Побудова графіків функцій виду у= |f(|x|)|;

4. Побудова графіків функцій виду у = |f₁(x)| + |f₂(x)| + … + |fn(x)|.

5. Побудова графіків функцій виду|у| = |f(x)|.

Математика є система інструментів для розв'язку певних класів задач. Задачі ці походять із різних сфер людської практики, але для школяра вони не є практично значимими. Знайома ситуація на уроці фізики або інформатики: зіштовхнувшись із задачею, що допускає математичний розв'язок, школяр не розпізнає її. Сучасний ринок праці висуває свої вимоги до випускників. З'явилася потреба в новому освітньому результаті, що не зводиться до простої комбінації відомостей і навичок, а орієнтованим на розв'язок реальних задач. Цей тип освітніх результатів став називатися компетентностями. Переглядаються освітні програми, вводяться нові предмети, спеціальні курси й факультативи. Одним з таких спеціальних курсів в 9- 11-х профільних і предпрофильных класах може бути « Розв'язок рівнянь і нерівностей з параметрами й модулем».

Поняття функціональної залежності, будучи одним із центральних у математиці, пронизує всі її додатки, воно, як жодне інше, привчає сприймати величини в їхній живій мінливості, у взаємному зв'язку й обумовленості. Вивчення поведінки функцій і побудова їх графіків є важливим розділом шкільного курсу. Вільне володіння технікою побудови графіків часто допомагає вирішувати складні задачі, а часом є єдиним засобом їх розв'язку. Крім того, уміння будувати графіки функцій становить великий інтерес для самих учнів. Однак на базі основної школи матеріал, пов'язаний із цим питанням, представлений трохи хаотично, вивчається недостатньо повно, багато важливих моментів не входять у програму. Ціль курсу – прояснити й доповнити шкільний матеріал, пов'язаний з функціями й побудовою графіків.

Побудова графіків функцій виду у = f(|x|); у = |f(x)|; у= |f(|x|)|; у = |f₁(x)| + |f₂(x)| + … + |fn(x)|.

Для побудови всіх типів графіків учням досить добре розуміти визначення модуля й знати види найпростіших графіків, вивчаємих у школі. Доцільно розглядати побудову графіків у наступній послідовності:

у = f(|x|); у = |f(x)|; у = |f(|x|)|; у= |f(x)| + |g (x)| + …; |у| = f(x); |у| = |f(x)|.

Побудова графіків слід здійснювати двома способами:

1) на підставі визначення модуля;

2) на підставі правил (алгоритмів) геометричного перетворення графіків функцій.

Побудова графіка функції у = f(|x|).

у = f(|x|) =

Отже, графік функції у = f(|x|) складається із двох графіків: у = f(x) – у правій півплощині, у = f(–x) – у лівій півплощині. Виходячи із цього, можна сформулювати правило (алгоритм). Графік функції у = f(|x|) виходить із графіка функції у = f(x) у такий спосіб: при х ³ 0 графік зберігається, а при х < 0 отримана частина графіка відображається симетрично щодо осі ОУ.

Приклад.Побудувати графік функції у = 2 |x| – 2.

1-й с п . у = 2 |x| – 2 Û

2-й с п .

а) Будуємо графік функції у = 2x – 2 для х > 0.

б) Добудовуємо його ліву частину для х < 0, симетрично побудованої щодо осі ОУ

Графік функції у = |f(x)|.

|f(x)| =

Звідси випливає алгоритм побудови графіків функції у = |f(x)|.

а) Будуємо графік функції f(x).

б) Частина графіка у = f(x), що лежить над віссю ОХ, зберігається, частина його, що лежить під віссю ОХ, відображається симетрично щодо осі ОХ.

Приклад.Побудувати графік функції у = |х – 2|.

1. Побудова.

а) Будуємо графік функції у = х – 2.

б) Графік нижньої півплощини відображаємо нагору симетрично щодо осі ОХ.

2. у = |х – 2| Û

Побудова графіка функції у = |f(|x|)|.

Щоб побудувати графік функції у = |f(|x|)|, треба спочатку побудувати графік функції у = f(x) при х > 0, потім при х < 0 побудувати зображення, симетричне йому щодо осі ОУ, а потім на інтервалах, де f(|x|) < 0, побудувати зображення, симетричне графіку f(|x|) щодо осі ОХ.

Приклад.Побудувати графік функції у = |1 – |х||.

Побудова. 1. у = |1 – |х|| Û Û

Побудова 2.

1) Будуємо графік функції у = 1 – х.

2) Графік функції у = 1 – |х|, маємо із графіка функції у = 1 – х відбиттям симетрично ( при х ³ 0) щодо осі ОУ.

3) Графік функції у = |1 – |х||, маємо із графіка функції у = 1 – |х| відображенням симетрично осі ОХ нижньої частини графіка.

Побудова графіків виду у = |f₁(x)| + |f₂(x)| + … + |fn(x)|.

При побудові графіків функцій такого роду найпоширенішим є метод, при якому знак модуля розкривається на підставі самого визначення модуля. Як правило, область припустимих значень даної функції розбивають на множини, на кожній з яких вираз, що розташован під знаком модуля, зберігає знак. На кожній такій множині функцію записують без знака модуля й будують графік. Об'єднання множини розв'язків, знайдених на всіх частинах області припустимих значень функції, становить множину всіх точок графіка заданої функції.

Приклад. Побудувати графік функції у = |х – 1| + |х – 3|. Знайти найменше значення функції.

Р е ш е н и е. Точки х = 1 і х = 3 розбивають числову вісь на три проміжки, для кожного запишемо функцію: 1) при х £ 1 маємо у = 4 – 2х; 2) при 1 < х £ 3 маємо у = 2; 3) при х > 3 маємо у = 2х – 4.

Приклад .Побудувати графік функції у = |х| – |х – 1|.

Алгоритм побудови:

1) Знайдемо нулі кожного підмодульного виразу х = 0 і х = 1.

2) Складемо таблицю, у якій крім 0 і 1 записуємо по одному цілому праворуч і ліворуч від цих значень.

х	–1
у	–1	–1

3) Наносимо ці точки на координатну площину й з'єднуємо послідовно.

Побудова графіків виду |у| = f(x).

Враховуючи, що у формулі |у| = f(x), f(x) ³ 0, і на підставі визначення модуля

|у| =

Перепишемо формулу |у| = f(x) у вигляді у = ± f(x), де f(x) ³ 0.

Виходячи із цього, сформулюємо правило-алгоритм.

Для побудови графіків виду |у| = f(x) досить побудувати графік функції у = f(x) для тих х з області визначення, при яких f(x) ³ 0, і відбити отриману частину графіка симетрично щодо осі абсцис.

Таким чином, графік залежності |у| = f(x) складається із графіків двох функцій:

у = f(x) і у = –f(x).

Приклад.Побудувати графік функції |у| = 1 – х.

1-й спосіб. |у| = 1 – х Û

2-й спосіб.

1) Будуємо графік функції у = 1 – х.

2) Відбиваємо ту частину графіка, яка перебуває вище осі абсцис симетрично щодо осі абсцис.

Побудова графіків виду |у| = |f(x)|.

Здійснюючи вже відомі перетворення графіків, виконуємо побудову спочатку графіка у = |f(x)|, а потім множину точок, координати яких задовольняють умові |у| = |f(x)|.

Побудова.

1. Будуємо графік функції у = f(x).

2. Частину графіка f(x) < 0, симетрично відображаємо щодо осі ОХ.

3. Отриманий графік симетрично відбиваємо щодо осі ОХ.

Приклад.

Побудувати графік рівняння |у| = |1 – х|.

1-й спосіб.

|у| = |1 – х| Û

2-й спосіб. 1. Будуємо графік функції у = 1 – х. 2. Графік у = |1 – х| одержуємо із графіка у = 1 – х, симетрично відобразивши ту частину, що лежить під віссю ОХ, щодо осі ОХ. 3. Графік |у| = |1 – х| одержуємо із графіка у = |1 – х|, відобразивши останній симетрично щодо осі ОХ.

ГРАФІКИ КВАДРАТИЧНИХ ФУНКЦІЙ, які містять знак
МОДУЛя

1. Графік функції у = |f(x)| маємо із графіка у = f(x) у такий спосіб: частина графіка у = f(x), що лежить над віссю ОХ, зберігається, частина його, що лежить під віссю ОХ, відбивається симетрично щодо осі ОХ.

2. Графік функції у = f(|x|) маємо із графіка функції у = f(x) у такий спосіб: при х ≥ 0 графік у = f(x) зберігається, а при х < 0 отримана частина графіка відбивається симетрично щодо осі ОУ.

Розглянемо наступні приклади.

Приклад1.

а) у = х² – |х| – 6;

Розвязок .

1) Будуємо графік функції у = х² – х – 6 (I).

2) Графік у = х² – |х| – 6 (II) одержуємо із графіка у = х² – х – 6 відбиттям симетрично осі ОУ частини графіка при х ≥ 0.

Приклад 2.

б) у = |х² – х – 6|.

1) Будуємо графік функції у = х² – х – 6 (I).

2) Графік функції у = |х² – х – 6| (II) одержуємо із графіка у = х² – х – 6 (I) відбиттям симетрично щодо осі ОХ частини графіка, розташованої нижче осі ОХ

Приклад 3.

в) у = |х² – |х| – 6|.

1) Будуємо графік функції у = х² – х – 6 (I).

2) Графік у = х² – |х| – 6 (II) одержуємо із графіка (I) відбиттям симетрично осі ОУ частини графіка х ≥ 0.

3) Графік у = |х² – |х| – 6| (III) одержуємо із графіка (II) відбиттям симетрично щодо осі ОХ частини графіка, розташованої нижче осі ОХ.

Графіки неявних функцій, аналітичний вираз яких містить знак модуля.

У розглянутих вище прикладах функції були задані аналітично, тобто формулами, що зв'язують відповідні значення аргументу й функції, причому у всіх прикладах у лівій частині рівності, що визначає функцію, стояв у, а в правій – вираз, що залежить від х. Функціональна залежність може бути задана й рівнянням, не дозволеним щодо залежної змінної. Такі функції називаються неявними.

Приклад 1.Побудувати множину точок |х|+|у| = 1.

Функція парна щодо координатних осей. А тому досить розглянути функцію тільки в I чверті, тобто при х ≥ 0, у ≥0. Оскільки при цьому |х| =х і |у| = у, задана функція приймає вид х + у = 1. Отже, будуємо графік прямої у = 1 – х, який лежить в I чверті.

Потім добудовуємо графік, користуючись симетрією, щодо осей ОХ і ОУ. Одержуємо квадрат з вершинами (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; –1).

1 у

|х|+|у| = 1

0 1 х

Приклад 2.Побудувати графік |у| – |x| = 3.

Тому що графік симетричний відносно осі ОХ і ОУ, то спочатку будуємо його частину у – х = 3, тобто у = х + 3 де х ≥ 0, у ≥ 0 (в I чверті). Потім відображаємо симетрично щодо осей координат.