ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Приклади для самостійного розв’язання

Множини. Деякі приклади числових множин

Множина – одне з важливіших понять математики, не означається через які-небудь інші елементарні поняття і вводиться аксіоматично. Описати термін множини можна як сукупність, об’єднання, набір деяких об’єктів довільної природи — елементівмножини. Наприклад, множина книг в бібліотеці, множина книг в бібліотеці з даної галузі знань, множина студентів факультету, множина парних чисел, множина точок заданого відрізка і т.п. Як бачимо з прикладів множини можуть бути скінченнимиабо нескінченними. Множини прийнято позначати великими буквами а їх елементи – малими, наприклад, .

Якщо елемент належить множині , то пишуть , якщо ж елемент не належить множині , то тоді пишуть або .

Множина, що не містить жодного елемента називається порожньою і позначається .

Розглянемо деякі означення.

Означення 1. Дві множини і називаються рівними (позначають ), якщо вони складаються з однакових елементів.

Означення 2. Множина називається підмножною множини , якщо кожний елемент множини є елементом множини .

Це позначається так: і читається “ міститься в ” або “ включає ”. Очевидно, що порожня множина включається в будь-яку множину : .

Наприклад, якщо множина складається із елементів 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (позначають ), а , то .

Означення 3. Множина елементів , які належать множині або множині , або і , називається об’єднанням цих множин і позначається .

Означення 4. Множина елементів , які належать обом множинам і називається перерізом множин і і позначається

Якщо, наприклад, і – це множини точок, що належать двом фігурам відповідно, то схематично на рис.1 зображені їх об’єднання у випадках а) і б). На рис.2 зображено переріз множин і .

Рис.1.

Рис.2.

Означення 5. Різницеюмножин і називається множина , що містить ті елементи , які не є елементами множини (див. рис.3).

Рис. 3.

Задача. Нехай . Знайти: .

Наведемо приклади відомих множин.

Множина натуральних чисел : .

Множина цілихчисел : .

Множина раціональнихчисел – це числа вигляду , де

і – цілі числа, . Нагадаємо, що раціональні числа можуть виражатися десятковими дробами: скінченними або періодичними.

Числа, які виражаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами називаються ірраціональними.

Об’єднання всіх раціональних і ірраціональних чисел утворюють множину дійсних чисел.

Має місце включення .

Між множиною дійсних чисел та множиною точок числової вісі існує взаємно однозначна відповідність.

Сталі та змінні величини

Величини, які при заданих умовах не змінюють свого значення, називаються сталими. Наприклад, відношення довжини кола до діаметра, як відомо, дорівнює ; сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює , чотирикутника — ; швидкість світла у вакуумі ^км/_с , сталим є прискорення земного тяжіння в даній точці Землі і т.п..

Величини, які в даному процесі набувають різних значень називаються змінними. Наприклад, в процесі руху точки змінними є пройдений точкою шлях, її координати відносно заданої системи координат і т.п.

Сталі величини позначають початковими буквами латинського алфавіту а змінні – останніми буквами .

Серед змінних величин зручно виділити такі, що набувають окремі ізольовані значення, наприклад, значення натуральних чисел , або значення деякої послідовності, наприклад, арифметичної чи геометричної прогресій. Такі змінні прийнято позначати і називають ще дискретними змінними.

Якщо змінна величина набуває всіх значень з деякого проміжка, то вважають, що вона змінюється неперервно. Наприклад, довжина стовпчика термометра при зміні температури приймає всі значення з деякого відрізка.

Нехай і – дійсні числа , , їм відповідають точки на числовій осі.

Відрізком називається множина чисел (точок) , що задовольняють умови , при цьому пишуть ще . Інтервалом називається множина чисел , що задовольняють умови . Множину всіх дійсних чисел (точок числової прямої) будемо позначати інтервалом , це означатиме, що для змінної виконується нерівність . Інтервалом є множина чисел більших від , або множина чисел, що задовольняють нерівності . Аналогічно інтервал означає множину точок таких, що .

Напівінтервалами або називаються множини точок, для яких відповідно або .

Відрізок, інтервал або напівінтервал ми будемо називати ще проміжком.

Проміжки зміни змінної х можуть появлятись, наприклад , при розв’язувані нерівностей, які в свою чергу виникають при дослідженні функції.

Приклади. Визначити проміжки зміни змінної х , задані такими нерівностями:

1. 3х + 5>0; 2. х² ≤ 9; 3. -7 < 5 – 2х ≤ 9 .

Розв’язання. 1. 3х + 5>0 >-5 > або < х.

Область розв’язків – проміжок: <х< .

2. х² ≤ 9 х²-9 ≤ 0 (х+3)(х-3) ≤0.

Далі нерівність розв’язуємо методом інтервалів, визначаючи знак виразу (х+3)(х-3) в „пробних” точках кожного з інтервалів.

Областю розв’язків є відрізок -3≤х≤3 або х .

3. Для розв’язання подвійної нерівності віднімемо із всіх її частин по 5 і розділимо на (-2) (знаки нерівностей при діленні на від’ємне число змінюються на протилежні )

-7-5< 5-2х-5≤ 9-5 або

-2≤ х< 6, або ж .

На рисунках зображення точки повним кружечком означає, що точка включається до даного проміжку, пустим кружечком O - точка не включається.

Приклади для самостійного розв’язання

Визначити і побудувати на числовій осі проміжки зміни змінної х, задані нерівностями:

1. 2. 3.

4.

Відповіді. 1. 2. . 3.

4.