ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Геометрические приложения производной (№№ 29-31)

Начала математического анализа

Часть 2: «Приложения производной»

Раздел 1 (базовый уровень максимальная оценка – «удовлетворительно»)

Геометрические приложения производной (№№ 1-7)

1. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

2. Написать уравнения касательной, проведённой к кривой y=e в точке её пересечения с осью oy.

3. Какой угол с положительным направлением оси OX составляет касательная, проведённая к графику функции f(x) = в точке с абсциссой x = -

4. Составьте уравнения касательных к графику функции f(x) = x³ + x², угловые коэффициенты которых равны 8.

5. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наименьшее значение.

6. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек минимума функции на отрезке .

7. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Физические приложения производной (№№ 8-16).

8. Движение точки, движущейся прямолинейно, задано уравнением s = t³ + 5t² + 4. Найдите скорость и ускорение в момент t = 2с

9. Точка движется прямолинейно по закону s = 6t – t². В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?

10. Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени t задан уравнением Т = 0,2t². С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t = 10?

11. Тело массой 10 кг. движется прямолинейно по закону s = 3t³ + t + 4. Найти кинетическую энергию тела (mv²/2) через 4с после начала движения.

12. Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону I=0,4t² (I - в амперах, t - в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в конце 8-ой секунды.

13. Тело вращается вокруг оси, причём закон изменения угла j = 0,1t². Найти угловую скорость вращения тела в момент t = 5.

14. С крыши дома, имеющего высоту равную 50 м брошен вертикально вверх мяч со скоростью 20м/сек. Найти:

а) скорость подъёма в конце второй секунды;

б) момент начала падения

в) наибольшую высоту подъёма относительно поверхности земли.

15. Найти силу F, действующую на материальную точку массы « m », которая движется прямолинейно по закону S = 2t³ - t² при t = 3c. .

16. Известны уравнения движения двух точек:

S₁ = 2t³ – 4t² + 5t и S₂ = 2t³ – 1,5t². Найдите ускорение движущихся точек в тот момент, когда их скорости равны.

Применение производной к исследованию функций

Найдите наименьшее значение Y=f(X) функции на отрезке [X₁;X₂] (№№ 17-18)

17. ,

18. ,

Найдите наибольшее значение Y=f(X) функции на отрезке [X₁;X₂] (№№ 19-20)

19. ,

20.

Исследовать функции на экстремумы (№№ 21-24):

21.	22.
23.	24.

Исследовать функцию и построить ее график (№№ 25-28).

25. ;	26.
27.	28.

Раздел 2 (базовый уровень, максимальная оценка – «отлично»)

Геометрические приложения производной (№№ 29-31)

29. Найдите общую точку касательных к графику y = x² – 3x + 2, одна из которых касается графика в точке с абсциссой x = 2, а другая – в точке с абсциссой x = 1.

30. Дана парабола y = x² – 2x + 7. Составьте уравнение касательной, перпендикулярной прямой, проходящей через начало координат и вершину параболы.

31. Составьте уравнение касательной к кривой xy = 2 в точке N(2;1)

Физические приложения производной (№№ 32-33).

32. Зависимость между количеством вещества, полученного в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением x = A(1-e^-kt). Определить скорость реакции.

Исследовать функции на экстремумы (№№ 33-35):

33.	34.
35.

Найти асимптоты графиков функции (№№ 36-41):

36.	37.	38.
39.	40.	41.

Исследовать функцию и построить ее график (№№ 42-47)

42.	43.
44. ;	45.
46.	47.